Смотря что считать западом. В США воинское приветствие можно исполнять и без головного убора, и с ним. В Европе в основном, все же, только в головном уборе. Вообще все связано с тем, у кого откуда конкретно "выросла" данная традиция. В Штатах перенята традиция из Британии: капитан Дрэйк приветствовал Елизавету I на своем корабле жестом, будто прикрывая глаза рукой от сияния королевской особы. Сняв перед этим шляпу.